CALCULO

El Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y

aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la

matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,

centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos,

ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que hayas estudiado con

anterioridad. Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades,

aceleraciones, rectas tangentes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las

matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más

estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en

el movimiento; trata de cantidades que se aproximan a otras cantidades.

La Escuela Rusa contemporánea de Matemática concibe una gran división de esta ciencia

de la siguiente manera:

 

 



 





 

en donde no se usa la idea de límite

Matemática Elemental

en donde se usa la idea de límite

Matemática Superior

Matemática

Los calificativos de “superior” y “elemental” no son sinónimos de “fácil” y “difícil”,

respectivamente. Sólo por dar un ejemplo, en el libro de Lidski,

elementales

Problemas de matemáticas(Edit. Mir, Moscú, 1972), aparece el siguiente problema: resolver la ecuación:

a

a

x

a

x

ax ax

a x a x log 4  log 4  log 4  log 4 

Llegar a establecer que en el caso en que

a 1 esta ecuación tiene dos soluciones, a saber

2

1

a

x  a y 2

1

2

x

 a a , requiere de cierto trabajo algebraico no precisamente sencillo. Sin

embargo, el problema: “Calcular la derivada de la función

  3 f x  4x ”, al cual, con toda

seguridad podrás dar respuesta correcta en unas cuantas fracciones de segundo cuando

finalices el tema de derivadas, es considerado como un problema de matemática superior,

pues en él está involucrada la idea de límite.

Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas de las matemáticas. De hecho,

podríamos definir al Cálculo como la parte de las matemáticas que trata con límites.

Los orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos

griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método de agotamiento”. Sabían cómo hallar

el área

sumar las áreas de estos triángulos (Figura 1).

Es un problema mucho más difícil hallar el área de una figura curva. El método griego de

agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en

torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos

aumentara. Fue Arquímides (287-212 a.n.e.) quien dio la descripción más clara de este

método. En figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo, con

polígonos regulares inscritos.

Sea

aproxima cada vez más al área del círculo. Decimos, entonces, que el área del círculo es el

A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos (método de triangulación), yn A el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n , se ve que n A se

límite

de las áreas de los polígonos inscritos y escribimos:

n

n

A lím A





Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento

indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula

del área de un círculo:

El

es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un

momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la

distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.

En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos

para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar

el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las

Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina

2 A r .Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento,

“

excesivamente pequeño, llamando la “

momentum” de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiemporazón del momentum” al tiempo correspondiente es

decir, la velocidad. Por lo tanto,

fluente es la cantidad variable que se identifica como

función

la

identifica como la

son entre sí como sus derivadas”.

; fluxión es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica comoderivada; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se llama momento que sediferencial. El principio establece que: “los momentos de las funciones

Casi al mismo tiempo, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-

1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican

hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las

tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando

que dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto

de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la

ordenada del mismo punto. Los símbolos

dx

dy

dx

, , la palabra “derivada” y el nombre de

“

ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz.

Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el

Cálculo Diferencial, sobresaliendo entre otros, los siguientes:

Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos

diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del

Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz

en la invención del Cálculo Diferencial. Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar

ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a

otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de

reservarse el éxito para sí mismo y para su nación, ya que existía gran rivalidad entre

franceses, alemanes e ingleses, razón por la que las demostraciones de Fermat se hayan

perdido. Hizo además aportaciones a la geometría analítica, la teoría de números y la

probabilidad.

Nicolás Oresme, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que: en la

proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima,

dicha ordenada varía más pausadamente.

Johannes Kepler, tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que

permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas,

igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en

que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje

pendiente de la tangente es nula.

Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677), maestro de Newton, construyó el

x donde la

“triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus

catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los

extremos del arco.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor

Medio. Se dice que Napoleón dijo de él un día: “Lagrange es la altiva pirámide de las

ciencias matemáticas”.

Augustin-Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857),

matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las

Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones

de “

continua

función de función” y la de “función compuesta” se deben a él. El concepto de funciónfue introducido por primera vez por él en 1821. En la definición dada en su texto

Cours d’Analyse

de los pequeños cambios indefinidos en

se expresa que los pequeños cambios indefinidos en y eran el resultadox . “… se dirá que f x es una función continua

si… los valores numéricos de la diferencia

los de

f x   f x decrecen indefinidamente con …”. A principios del siglo XIX dio una definición satisfactoria de límite, y en

consecuencia, de derivada de una función.

Leonhard Euler (1707-1783). La simbología

importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los

primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos

publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía,

mecánica y magnetismo.

John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616

f x se debe a él, quien además de hacer– Oxford, 28 de octubre de 1703), enuncia

el concepto de “

La representación simbólica “

abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840).

límite”.lím” se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de

El símbolo “

Karl Weierstrass, matemático alemán, se encargó de dar formalidad y estructura a la noción

intuitiva de límite.

Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) fue quien dio la primera definición moderna de

Al principio del desarrollo del cálculo, la definición de función era mucho más restringida

que en la actualidad, y no se habían considerado funciones como la de Dirichlet.

tiende a”  lo propuso J. G. Leathem.función.

Jacobo Bernoulli introduce la palabra “

función” en el Cálculo Diferencial.

Niels Henrik Abel (1802.1829) y Evariste Galois (1811-1832). Aunque sus vidas fueron

breves, sus trabajos en los campos del análisis y del álgebra abstracta fueron de gran

alcance.

En el siglo XIX se encontraron bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente

pequeño.

El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose como

una herramienta técnico

magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los

cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la

astronomía para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, en medicina

para medir el flujo cardiaco, la estadística, y en una gran diversidad de otras áreas.

Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del Cálculo Diferencial se deben a

Newton y Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el Cálculo Diferencial continuó

basándose en el concepto de lo infinitesimal. A Newton y Leibniz se les llama fundadores

del Cálculo, ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental

– científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen

del Cálculo Diferencial denominado “Problema de las Tangentes”, en el cual hay que hallar

las rectas tangentes a una curva dada en un punto

quien trató de ampliar el cálculo al desarrollar reglas y asignarle una notación formal. A

menudo pasó días eligiendo una notación apropiada para un nuevo concepto.P cualquiera. Sin embargo, fue Leibniz

CÁLCULO

Antecedentes históricos

Un poco de historia y el nacimiento del Cálculo. Fuente: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm Introducción El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.
Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, o más bien dicho, coinventores, pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.
Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra
relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.
El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso. El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:  Encontrar la tangente a una curva en un punto.  Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.  Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido. 
En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Isaac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de infinitamente pequeño se llama diferencial de , y se anota . Lo mismo ocurre para y (con notación ). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales ( ). No resulta difícil imaginar que, al no poseer en Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido. x x dx dy dx dy esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.
Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.
La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.
La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos. El siglo XVIII Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió
Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico, y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos. Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés". El siglo XIX Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.
Gauss desarrolló la geometría no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.
Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854). Siglo XX y nuestros días Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.
El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstractas encuentra aplicación. Conclusiones El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones

consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta. Este es un resumen de algunos de los momentos y logros históricos más importantes de esta rama importantísima de las matemáticas y pretende motivarte para que realices una indagación e investigación más profunda sobre las ideas y los hechos aquí presentados.

DERIVADAS